刘再平、罗新兵——例析自主招生考试中的圆锥曲线问题

例析自主招生考试中的圆锥曲线问题

刘再平     陕西省汉中市镇巴中学

罗新兵      陕西师范大学数学与信息科学学院

文章发表于《数学通讯》2017年第1２期上半月

      圆锥曲线问题综合性强，运算量大，对数学思维和问题解决能力的要求较高，它不仅是高考的热点、重点和难点，还备受自主招生考试的青睐，本文主要以历年自主招生真题为实例，对自主招生考试中的圆锥曲线问题进行归类解析，介绍圆锥曲线问题在自主招生中的考向及解决方法，供大家参考．

      一、轨迹问题

      点评　轨迹问题是圆锥曲线的常考题型，不论解法一还是解法二，都需要根据题意画出图形，建立直角坐标系，运用解析通法．当然，解答时还要对三角形正弦面积公式和坐标形式面积公式等拓展知识有所了解，这也是自招试题贴近高考但区分度高于高考的原因．

      二、“定型”问题

      点评　例２是一道典型的定值问题，上述解答从正面出发直接求出结论为定值，有一定的计算量．圆锥曲线“定型”问题还包括直线过定点或点过定直线等题型，下面链接几道这方面的问题，供读者思考解决．

      点评　解法一主要根据均值不等式求最值，解法二则利用三角函数的有界性求最值，这是两种常见解决最值问题的方法，有时也可以将其转化为函数最值问题，运用函数的单调性求最值．圆锥曲线最值问题的类型较多，不仅局限于求三角形面积最值型，另外求距离最值或四边形面积最值等也很常见，请参考如下链接３与链接４．

      点评　解决存在性问题的一般思路是先假设结论成立，然后再证明其合理性或找出矛盾，这道自主招生试题是一道很典型的圆锥曲线存在性问题，在推证结论的过程中，还采用了先由特殊情况大胆猜想一般结论、再小心求证一般结论的由特殊到一般的思维历程．

      点评　此题综合了向量、数列、平面几何、圆锥曲线等核心知识，并且与存在性问题、定值问题等交融，综合性强，要求学生对抛物线的定义与参数方程、等差数列的定义、垂直平分线的性质与垂径定理等知识能融会贯通和灵活运用，对学生分析问题与解决问题的数学核心能力要求较高．无独有偶，２０１０年同济大学自主招生也命制了一道数学本质相同的类题．

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